Πόσες πιθανότητες έχουμε να κερδίσουμε το Τζόκερ;

 Σκέψου το εξής σενάριο: Έχω πάει για διακοπές στην Αυστραλία… με τσιμπάει ένα δηλητηριώδες κοάλα και πεθαίνω. Όχι, όχι, πάμε πάλι. Έστω πως κάνω διακοπές στην Αυστραλία και σε μια βραδινή έξοδο γνωρίζω έναν ντόπιο, με τον οποίο μετά βγαίνω για ποτό. Η ώρα κυλάει ευχάριστα μέχρι που ο νέος φίλος μου φεύγει, ξεχνώντας όμως στο μπαρ το ρολόι του. Αποφασισμένος να του το επιστρέψω καταστρώνω το εξής σχέδιο: Υποθέτω πως κάθε Αυστραλός διαθέτει ένα κινητό τηλέφωνο και πως υπάρχει κάποιος κατάλογος με όλα αυτά τα νούμερα. Θα καλέσω έναν από τους 24.720.000 αριθμούς στην τύχη, με την ελπίδα πως θα πετύχω τον ιδιοκτήτη του ρολογιού.

Σου ακούγεται εξωφρενικό; Είναι. Και όμως κάθε εβδομάδα χιλιάδες άνθρωποι ελπίζουν πως θα πετύχουν τους έξι τυχερούς αριθμούς που θα τους κάνουν πλούσιους. Η πιθανότητά είναι μία στις 24.435.180. Ελάχιστα καλύτερη από το να πετύχω τον αριθμό του φανταστικού Αυστραλού φίλου μου. Για να δούμε όμως πώς βγαίνει αυτός ο αριθμός.

Έστω πως έχουμε 5 ανθρώπους, τον Στάμο, τον Παύλο, τη Ρούλα, τη Λένα, τη Δώρα και 3ς καρέκλες.

Πόσα είναι τα μοναδικά σενάρια στα οποία 3 από τους 5 κάθονται;

Το πρώτο που πρέπει να ξεκαθαρίσουμε είναι πως ο αριθμός των πιθανών σεναρίων είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό των μοναδικών σεναρίων. Μπορούμε να αναδιατάξουμε τους ανθρώπους για να φτιάξουμε νέα σενάρια αλλά δεν φτιάχνουν όλες οι αναδιατάξεις διαφορετικά σενάρια. Για παράδειγμα, o Στάμος, η Ρούλα και η Λένα μπορούν να καθίσουν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους αλλά όλοι οδηγούν στο ίδιο σενάριο: Οι τρεις τους κάθονται ενώ ο Παύλος και η Δώρα είναι όρθιοι.

Συνολικά, τα πιθανά σενάρια ισούνται με τα μοναδικά σενάρια επί τις φορές που εμφανίζεται το καθένα. Εμείς όμως ψάχνουμε τα μοναδικά σενάρια, άρα πρώτα πρέπει να βρούμε τον συνολικό αριθμό των σεναρίων και στη συνέχεια να τον διαιρέσουμε με τον αριθμό των τρόπων που μπορούμε να τα φτιάξουμε.

Ο συνολικός αριθμός των πιθανών σεναρίων

Έχουμε λοιπόν πέντε ανθρώπους και τρεις καρέκλες. Για την πρώτη καρέκλα υπάρχουν πέντε δυνατές επιλογές, μπορεί να καθίσει οποιοσδήποτε. Για τη δεύτερη καρέκλα έχουμε τέσσερις δυνατές επιλογές για κάθε μία από τις πέντε πρώτες. Αν δηλαδή για παράδειγμα στην πρώτη καρέκλα έκατσε η Ρούλα, δεν μπορεί να καθίσει και στη δεύτερη – οι επιλογές μας μειώνονται κατά μία. Έτσι έχουμε 4+4+4+4+4 δυνατούς συνδυασμούς, ή αλλιώς 5x4. Για την τρίτη καρέκλα, υπάρχουν τρεις δυνατές επιλογές για κάθε ένα από τα 5x4 προηγούμενα ζευγάρια. Δηλαδή συνολικά έχουμε (5x4)x3 = 60 δυνατούς συνδυασμούς. Αυτά είναι όλα τα πιθανά σενάρια.

Πόσες φορές εμφανίζεται το κάθε σενάριο;

Έστω πως καταλήξαμε στον Παύλο, τη Λένα και τη Δώρα. Με πόσους τρόπους μπορούμε να τους καθίσουμε στις καρέκλες;

Για την πρώτη καρέκλα έχουμε τρεις δυνατές επιλογές. Για τη δεύτερη καρέκλα έχουμε δύο επιλογές για κάθε μία από τις προηγούμενες τρεις, ενώ για την τρίτη καρέκλα έχουμε μόνο μία επιλογή. Άρα συνολικά μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο σενάριο με 3x2x1 = 6 διαφορετικούς τρόπους. Ο πολλαπλασιασμός αυτός στα μαθηματικά συμβολίζεται με 3! και διαβάζεται 3 παραγοντικό. Είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακέραιων μικρότερων ή ίσων του 3. Το 4! ισούται με 4x3x2x1, το 5! με 5x4x3x2x1 κοκ.

Επιστρέφοντας λοιπόν στην αρχική μας ερώτηση, έχουμε 60/6 = 10 μοναδικά σενάρια στα οποία ένας διαφορετικός συνδυασμός τριών ατόμων κάθεται στις καρέκλες.

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα επιτυχίας στο Τζόκερ. Ο συνδυασμός που κερδίζει δεν είναι τίποτα άλλα παρά μια επιλογή 5 αριθμών από 45 και 1 από 20 Τζόκερ. Για το πρώτο νούμερο της πεντάδας έχουμε 45 δυνατές επιλογές. Για το δεύτερο νούμερο έχουμε 44 επιλογές για κάθε μία από τις 45 πρώτες. Ακολουθώντας το ίδιο μοτίβο, οι δυνατοί συνδυασμοί 5 αριθμών από 45 είναι 45x44x43x42x41. Επειδή όμως και πάλι δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία μπορεί να προκύψει ένας συνδυασμός, διαιρούμε αυτό το νούμερο με όλους τους δυνατούς τρόπους που μπορούμε να αναδιατάξουμε πέντε αριθμούς, δηλαδή με το 5!.

Το αποτέλεσμα είναι 1.221.759 διαφορετικοί συνδυασμοί. Τώρα, για κάθε έναν από αυτούς έχουμε 20 επιλογές για αριθμό Τζόκερ. Τελικά, ο συνδυασμός που κερδίζει είναι ένας στους 24.435.180 (1.221.759 x 20) ή αλλιώς περίπου 0.0000041% πιθανότητες. Δυστυχώς απελπιστικά μικρές.

Γενικεύοντας τα προηγούμενα παραδείγματα, αν έχουμε δύο αριθμούς, τον n και τον k, με τον n μεγαλύτερο του k, ο αριθμός των δυνατών τρόπων που μπορούμε να επιλέξουμε k από n αριθμούς είναι ίσος με

Ο τύπος αυτός εμφανίζεται πολύ συχνά στα μαθηματικά, ονομάζεται διωνυμικός συντελεστής και έχει το δικό του σύμβολο. Μπορεί να τον έχεις δει γραμμένο κι έτσι.

Ο διωνυμικός συντελεστής χρησιμοποιείται σε πάρα πολλά προβλήματα, όπως για παράδειγμα στο πόκερ: Η τράπουλα έχει 52 φύλλα, εσύ έχεις 5. Οι δυνατοί συνδυασμοί είναι 5 από 52, δηλαδή 2.598.960. Σ’ ένα άλλο παράδειγμα, 15 άγνωστοι άνθρωποι βρίσκονται σε ένα πάρτι. Οι χειραψίες που πρέπει να ανταλλάξουν για να γνωριστούν όλοι με όλους είναι 2 από 15, δηλαδή 105.

Μερικοί παίχτες του Τζόκερ προσπαθούν να ξεγελάσουν την τύχη χρησιμοποιώντας διάφορα κόλπα. Επιλέγουν, για παράδειγμα, τους αριθμούς που έχουν κληρωθεί τις περισσότερες φορές ή εκείνους που έχουν καιρό να εμφανιστούν. Η τελευταία αυτή αντίληψη ονομάζεται «πλάνη του τζογαδόρου» και υποθέτει πως η τύχη είναι μια αυτο-διορθωτική διαδικασία. Οι αριθμοί δηλαδή που δεν έχουν βγει συχνά στο παρελθόν έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να βγουν στο μέλλον. 1

Όλες αυτές οι τακτικές είναι ανώφελες, γιατί η τύχη πάσχει από αμνησία. Ακόμα κι αν πάει πολύς καιρός που έχει να φανεί το «3», στην επόμενη κλήρωση έχει ακριβώς τις ίδιες πιθανότητες με τους υπόλοιπους αριθμούς.

Δεν υπάρχει κανένας τρόπος να κερδίσεις την τύχη. Υπάρχει όμως τρόπος να κερδίσεις τους συμπαίκτες σου. Πέραν του να παίξεις περισσότερους συνδυασμούς, δεν μπορείς να αυξήσεις αλλιώς τις πιθανότητες για να νικήσεις, μπορείς όμως να αυξήσεις τις πιθανότητες αν νικήσεις να μοιραστείς τα χρήματα με όσο το δυνατόν λιγότερους.

Αν γνωρίζεις τα νούμερα που αρέσκονται να επιλέγουν οι περισσότεροι άνθρωποι, μπορείς να διεκδικήσεις μεγαλύτερο μερίδιο στοιχηματίζοντας ενάντια στο πλήθος. Για παράδειγμα, πολλοί παίχτες επιλέγουν διάφορες ημερομηνίες, δηλαδή αριθμούς από το 1 μέχρι το 31. Αν η τυχερή πεντάδα είναι μέσα σε αυτά τα νούμερα τότε οι νικητές πολύ πιθανόν να είναι περισσότεροι από έναν!

Όπως και να έχουν τα πράγματα από μαθηματική άποψη, κανένας τύπος δεν μπορεί να αποδώσει το αίσθημα της προσδοκίας για όσα θα μπορούσαμε να κάνουμε αν κερδίζαμε. Τα τυχερά παιχνίδια υπάρχουν για να μας διασκεδάζουν, γι’ αυτό παίζουμε πάντα υπεύθυνα.